Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{100}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Schritt 3.2.1.1.2

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{100}$ in den Zähler.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

Schritt 3.2.1.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 3.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 3.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

Schritt 3.2.1.1.4

Kombiniere $16$ und $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

Schritt 3.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Schritt 3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

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Schritt 5.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{16 x^{2}}{25}$ als ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $8$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \cdot 5 + 4 x$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \cdot 5$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.6

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $8$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 5.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \cdot 5 - 4 x$ heraus.

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Schritt 5.8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \cdot 5$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

Schritt 5.8.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

Schritt 5.8.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

Schritt 5.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $\frac{4 (10 + x)}{5}$ mit $\frac{4 (10 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

Schritt 5.9.2

Multipliziere.

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Schritt 5.9.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

Schritt 5.9.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

Schritt 5.10

Schreibe $\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ als ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ um.

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Schritt 5.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (10 + x) (10 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

Schritt 5.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.10.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

Schritt 5.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Schritt 5.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Schritt 5.13

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

Schritt 8.2

Setze $10 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $10 + x$ gleich $0$ .

$10 + x = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 10$

Schritt 8.3

Setze $10 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $10 - x$ gleich $0$ .

$10 - x = 0$

Schritt 8.3.2

Löse $10 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 10$

Schritt 8.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 10$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x = 10$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 10, 10$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 12$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $- 44$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 10 < x < 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 10 < x < 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $100$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 10$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 10$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $- 44$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 10$ Falsch

$- 10 < x < 10$ Wahr

$x > 10$ Falsch

$x < - 10$ Falsch

$- 10 < x < 10$ Wahr

$x > 10$ Falsch

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 10 \leq x \leq 10$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 10, 10]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 8, 8]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

Wertebereich: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Schritt 12