Elementarmathematik Beispiele

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{6})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{6}$ an.

$r = \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{2 + 1 {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${\sqrt{6}}^{2}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{2 + {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{2 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Addiere $2$ und $6$ .

$r = \sqrt{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$r = \sqrt{4 (2)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \sqrt{6}}{- \sqrt{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\sqrt{3}$ ist $θ = 240 °$ .

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = 240 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(2 \sqrt{2}, 240 °)$