Elementarmathematik Beispiele

$(- 5 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- 5 \sqrt{2})}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$r = \sqrt{50 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{50 + 5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{50 + 25 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{50 + 25 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{50 + 25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$r = \sqrt{50 + 50}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.2

Addiere $50$ und $50$ .

$r = \sqrt{100}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.3

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$r = \sqrt{10^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{5 \sqrt{2}}{- 5 \sqrt{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $- 1$ ist $θ = 135 °$ .

$r = 10$

$θ = 135 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(10, 135 °)$