Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 8 x = 4 y - 12$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 y - 12 = x^{2} + 8 x$ um.

$4 y - 12 = x^{2} + 8 x$

Schritt 1.1.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = x^{2} + 8 x + 12$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 8 x + 12$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 8 x + 12$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{12}{4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Dividiere $12$ durch $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 3$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 3 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 3 - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 1$ ein.

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, - 1)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 4.3.2.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 4, 0)$

Schritt 6