Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 96 y + 36 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 96$ und $c = 9 x^{2} - 36 x + 36$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 96 \pm \sqrt{96^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (9 x^{2} - 36 x + 36))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 16 \cdot (9 x^{2} - 36 x + 36)$ als ${(2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{96^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 96$ und $b = 2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 8 \cdot (3 x - 6)) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 8 (3 x) + 8 \cdot - 6) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 24 x + 8 \cdot - 6) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 24 x - 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.5

Subtrahiere $48$ von $96$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 x + 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.6

Faktorisiere $24$ aus $24 x + 48$ heraus.

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Schritt 3.1.3.6.1

Faktorisiere $24$ aus $24 x$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 (x) + 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.6.2

Faktorisiere $24$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 x + 24 \cdot 2) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.6.3

Faktorisiere $24$ aus $24 x + 24 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - (8 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 8 (3 x - 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 24 x - 8 \cdot - 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 6$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 24 x + 48)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.5

Addiere $96$ und $48$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (- 24 x + 144)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $24$ aus $- 24 x + 144$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $24$ aus $- 24 x$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x) + 144)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $24$ aus $144$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x) + 24 (6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $24$ aus $24 (- x) + 24 (6)$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) \cdot (24 (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $24$ mit $24$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{576 (x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $576 (x + 2) (- x + 6)$ als $24^{2} ((x + 2) (- x + 6))$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24^{2} (x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24^{2} ((x + 2) (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{32}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{32}$ .

$y = \frac{- 12 \pm 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $4 \cdot 16 \cdot (9 x^{2} - 36 x + 36)$ als ${(2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{96^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 96$ und $b = 2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 8 \cdot (3 x - 6)) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 8 (3 x) + 8 \cdot - 6) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 24 x + 8 \cdot - 6) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 24 x - 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.5

Subtrahiere $48$ von $96$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 x + 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere $24$ aus $24 x + 48$ heraus.

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Schritt 4.1.3.6.1

Faktorisiere $24$ aus $24 x$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 (x) + 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.6.2

Faktorisiere $24$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 x + 24 \cdot 2) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.6.3

Faktorisiere $24$ aus $24 x + 24 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - (8 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 8 (3 x - 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 24 x - 8 \cdot - 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 6$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 24 x + 48)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.5

Addiere $96$ und $48$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (- 24 x + 144)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $24$ aus $- 24 x + 144$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $24$ aus $- 24 x$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x) + 144)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $24$ aus $144$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x) + 24 (6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $24$ aus $24 (- x) + 24 (6)$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) \cdot (24 (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $24$ mit $24$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{576 (x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $576 (x + 2) (- x + 6)$ als $24^{2} ((x + 2) (- x + 6))$ um.

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Schritt 4.1.8.1

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24^{2} (x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24^{2} ((x + 2) (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{32}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{32}$ .

$y = \frac{- 12 \pm 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{4}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 12 + 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{4}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $3$ aus $- 12 + 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{3 \cdot - 4 + 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{4}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot - 4 + 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}$ heraus.

$y = \frac{3 (- 4 + \sqrt{(x + 2) (- x + 6)})}{4}$

Schritt 4.6

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{3 (- 1 \cdot 4 + \sqrt{(x + 2) (- x + 6)})}{4}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{(x + 2) (- x + 6)}$ heraus.

$y = \frac{3 (- 1 \cdot 4 - 1 (- \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}))}{4}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - 1 (- \sqrt{(x + 2) (- x + 6)})$ heraus.

$y = \frac{3 (- 1 (4 - \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}))}{4}$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 (4 - \sqrt{(x + 2) (- x + 6)})}{4}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $4 \cdot 16 \cdot (9 x^{2} - 36 x + 36)$ als ${(2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{96^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 96$ und $b = 2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 8 \cdot (3 x - 6)) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 8 (3 x) + 8 \cdot - 6) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 24 x + 8 \cdot - 6) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(96 + 24 x - 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.5

Subtrahiere $48$ von $96$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 x + 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.6

Faktorisiere $24$ aus $24 x + 48$ heraus.

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Schritt 5.1.3.6.1

Faktorisiere $24$ aus $24 x$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 (x) + 48) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.6.2

Faktorisiere $24$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{(24 x + 24 \cdot 2) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.6.3

Faktorisiere $24$ aus $24 x + 24 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - (2 \cdot 4 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - (8 \cdot (3 x - 6)))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 8 (3 x - 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 24 x - 8 \cdot - 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 6$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (96 - 24 x + 48)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.5

Addiere $96$ und $48$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (- 24 x + 144)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $24$ aus $- 24 x + 144$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $24$ aus $- 24 x$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x) + 144)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $24$ aus $144$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x) + 24 (6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $24$ aus $24 (- x) + 24 (6)$ heraus.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) (24 (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24 (x + 2) \cdot (24 (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $24$ mit $24$ .

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{576 (x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $576 (x + 2) (- x + 6)$ als $24^{2} ((x + 2) (- x + 6))$ um.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24^{2} (x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 96 \pm \sqrt{24^{2} ((x + 2) (- x + 6))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$y = \frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{32}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 96 \pm 24 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{32}$ .

$y = \frac{- 12 \pm 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{4}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 12 - 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}}{4}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 12 - 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Stelle $- 12$ und $- 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}$ um.

$y = \frac{- 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)} - 12}{4}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)}$ heraus.

$y = \frac{- 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)} - 12}{4}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{- 3 \sqrt{(x + 2) (- x + 6)} - 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (\sqrt{(x + 2) (- x + 6)}) - 3 (4)$ heraus.

$y = \frac{- 3 (\sqrt{(x + 2) (- x + 6)} + 4)}{4}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 (\sqrt{(x + 2) (- x + 6)} + 4)}{4}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{3 (4 - \sqrt{(x + 2) (- x + 6)})}{4}$

$y = - \frac{3 (\sqrt{(x + 2) (- x + 6)} + 4)}{4}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 2) (- x + 6)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 2) (- x + 6) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$- x + 6 = 0$

Schritt 8.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 8.3

Setze $- x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $- x + 6$ gleich $0$ .

$- x + 6 = 0$

Schritt 8.3.2

Löse $- x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 6$

Schritt 8.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$x = 6$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (- x + 6) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 2, 6$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 2) (- (- 4) + 6) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 2) (- (0) + 6) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((8) + 2) (- (8) + 6) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x \leq 6$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2, 6]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \leq x \leq 6}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 6, 0]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 6 \leq y \leq 0}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 2, 6], {x | - 2 \leq x \leq 6}$

Wertebereich: $[- 6, 0], {y | - 6 \leq y \leq 0}$

Schritt 12