Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 4 y + 4 x + 4 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y + 4 x + 4 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 4 = - y^{2} + 4 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - y^{2} + 4 y - 4$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{4} + y - 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - (1 \cdot 2)$

Schritt 1.2.3.2.5

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$e = - 1 - - 1$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 1 + 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$e = 0$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$ ein.

$- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 2)}^{2} + 0$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 2)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 4.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = 1$

Schritt 6