Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 3$

$k = 4$

$h = - 2$

Schritt 4

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 5

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{12 - 9}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 7