Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{3} + x^{2} - 7 x + 28 = 0$

Schritt 1

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = 5 x^{3} + x^{2} - 7 x + 28$

Schritt 2

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung $2$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $2$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden $(2 - 2)$ .

Positive Wurzeln: $2$ oder $0$

Schritt 3

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = 5 {(- x)}^{3} + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = 5 (- x^{3}) + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- x) = - 5 x^{3} + {(- x)}^{2} - 7 (- x) + 28$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} x^{2} - 7 (- x) + 28$

Schritt 4.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - 5 x^{3} + 1 x^{2} - 7 (- x) + 28$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 5 x^{3} + x^{2} - 7 (- x) + 28$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (- x) = - 5 x^{3} + x^{2} + 7 x + 28$

Schritt 5

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $1$ Vorzeichenwechsel erfolgt, gibt es höchstens $1$ negative Wurzel (Vorzeichenregel von Descartes).

Negative Wurzeln: $1$

Schritt 6

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $2$ oder $0$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $1$ .

Positive Wurzeln: $2$ oder $0$

Negative Wurzeln: $1$