Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} y = - 6$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = - 6$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = - 6$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 6}{x^{3}}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6}{x^{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{6}{y^{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{6}{y^{3}} = x$ um.

$- \frac{6}{y^{3}} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{3}, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{3}$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{6}{y^{3}} = x$ mit $y^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{6}{y^{3}} = x$ mit $y^{3}$ .

$- \frac{6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{y^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 = x y^{3}$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{3} = - 6$ um.

$x y^{3} = - 6$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x y^{3} = - 6$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{3} = - 6$ durch $x$ .

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{- 6}{x}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{6}{x}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $- \frac{6}{x}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}$ um.

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Schritt 3.4.4.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{6}{x}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}}$

Schritt 3.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

Schritt 3.4.4.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

Schritt 3.4.4.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{6}{x}}$ als $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 3.4.4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

Schritt 3.4.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.4.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 3.4.4.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 3.4.4.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.4.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.4.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.4.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.4.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.4.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Schritt 3.4.4.6.5.5

Vereinfache.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Schritt 3.4.4.7

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Schritt 3.4.4.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}}}{- \frac{6}{x^{3}}}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} (- \frac{x^{3}}{6}))$

Schritt 5.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.5

Wende die Produktregel auf $- \frac{6}{x^{3}}$ an.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- 1)}^{2} {(\frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 {(\frac{6}{x^{3}})}^{2})} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.7

Wende die Produktregel auf $\frac{6}{x^{3}}$ an.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{6^{2}}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.8

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{3 \cdot 2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{6}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 (\frac{36}{x^{6}})} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.10.2

Kombiniere $6$ und $\frac{36}{x^{6}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 36}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.10.3

Mutltipliziere $6$ mit $36$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{216}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.11

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.12

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.13

Schreibe $\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$ als ${(\frac{6}{x^{2}})}^{3}$ um.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{{(\frac{6}{x^{2}})}^{3}} \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.14

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \frac{6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.15.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{x^{2}}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.15.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 (- 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Schritt 5.2.15.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot x^{3})$

Schritt 5.2.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.16.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Schritt 5.2.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Schritt 5.2.16.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}$ als $6 x^{2}$ um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 x^{2}}$ als ${(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{({(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.4.5

Vereinfache.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{3}}}$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Schritt 5.3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6}{x}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (- \frac{x}{6}))$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{6}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$