Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{3}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.8

Multipliziere $- 3 (\frac{9}{4})$ .

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Schritt 4.1.8.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.8.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Schritt 4.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 6$

Schritt 4.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 6$

Schritt 4.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 6$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 6$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 6 + 6 + \frac{27 - 27}{4}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$- 6 + 6 + \frac{0}{4}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 6}{1} + 6 + \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} + \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{- 24 + 6 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{- 24 + 24}{4}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $- 24$ und $24$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 4.6.2

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{3}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{3}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{3}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(\frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(6)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 0 x - 4$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 4$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 4$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 4)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ heraus.

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 2))$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 6 = 0$

Schritt 8.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 10

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 11

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 11.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 1.5, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 14