Elementarmathematik Beispiele

$- x^{2} + 10 x + y - 21 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 10 x - 21 = - y$

Schritt 1.2

Addiere $21$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 10 x = - y + 21$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 10$

$c = 0 = - y + 21$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = - y + 21$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = - 5$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $0$ und $25$ .

$e = 25$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 5)}^{2} + 25$ ein.

$- {(x - 5)}^{2} + 25 = - y + 21$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(x - 5)}^{2} = - y + 21 - 25$

Schritt 3.2

Subtrahiere $25$ von $21$ .

$- {(x - 5)}^{2} = - y - 4$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = - y - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = - y - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{- y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{- y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere ${(x - 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{- y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

${(x - 5)}^{2} = \frac{y}{1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.3.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{2} = y + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.3.1.3

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = y + 4$