Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \log_{7} (x - x^{10})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{7} (x - x^{10})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - x^{10} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 0, 1$

Schritt 2.2

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.3

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.3.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.3.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.3.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) - {(- 2)}^{10} > 0$

Schritt 2.3.1.3

Die linke Seite $- 1026$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.3.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.3.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 2.3.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.5) - {(0.5)}^{10} > 0$

Schritt 2.3.2.3

Die linke Seite $0.49902343$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.3.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.3.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.3.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4) - {(4)}^{10} > 0$

Schritt 2.3.3.3

Die linke Seite $- 1048572$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.3.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 2.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, 1)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 < x < 1}$

Schritt 4