Elementarmathematik Beispiele

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Multipliziere den Ausdruck mit einem Faktor von $1$ , um den Hauptnenner von $2$ zu erhalten.

$\sin (2 θ) \cdot 2$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (2 θ)$ .

$\frac{2 \sin (2 θ)}{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 1 = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (2 θ)$ mit $1$ .

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$2 θ = - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = - \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = - \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$θ = - \frac{π}{12}$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 9.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 9.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\sin (2 θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + π$

Schritt 11.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 11.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 11.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Schritt 11.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Schritt 11.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{11 π}{12}$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (2 θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$