Elementarmathematik Beispiele

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Multipliziere den Ausdruck mit einem Faktor von $1$ , um den Hauptnenner von $2$ zu erhalten.

$\sin (2 θ) \cdot 2$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (2 θ)$ .

$\frac{2 \sin (2 θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Schritt 4.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (2 θ)$ mit $1$ .

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 θ = π - \frac{π}{6}$

Schritt 9

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 9.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$2 θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 9.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 9.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 9.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$θ = \frac{5 π}{12}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\sin (2 θ)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (2 θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$