Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{\frac{2 x}{x + 8} - 1}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{2 x}{x + 8} - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{2 x}{x + 8} - 1 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{2 x}{x + 8} - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{2 x}{x + 8} - 1 \cdot \frac{x + 8}{x + 8} \geq 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{2 x}{x + 8} + \frac{- (x + 8)}{x + 8} \geq 0$

Schritt 2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - (x + 8)}{x + 8} \geq 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - x - 1 \cdot 8}{x + 8} \geq 0$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{2 x - x - 8}{x + 8} \geq 0$

Schritt 2.1.3.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x - 8}{x + 8} \geq 0$

Schritt 2.2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 8 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 2.4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 8$

$x = - 8$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 8, - 8$

Schritt 2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x}{x + 8} - 1$ .

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Schritt 2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{x + 8}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 8 = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, \infty)$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 10)}{(- 10) + 8} - 1 \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0)}{(0) + 8} - 1 \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (10)}{(10) + 8} - 1 \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $0.\overline{1}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 8$ oder $x \geq 8$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{x + 8}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 8 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 8) \cup [8, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 8, x \geq 8}$

Schritt 6