Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Schritt 1

Setze $9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$ gleich $0$ .

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 9 x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 9 x^{3}$ heraus.

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $4 x$ heraus.

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ heraus.

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Schritt 2.1.7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ und deren Summe gleich $b = - 58$ ist.

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Schritt 2.1.8.1.1

Faktorisiere $- 58$ aus $- 58 u$ heraus.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Schritt 2.1.8.1.2

Schreibe $- 58$ um als $- 4$ plus $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Schritt 2.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Schritt 2.1.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Schritt 2.1.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Schritt 2.1.9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.10

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.11

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $(3 x + 2) (3 x - 2)$ aus $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ heraus.

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Schritt 2.1.13.1

Faktorisiere $(3 x + 2) (3 x - 2)$ aus $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ heraus.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Faktorisiere $(3 x + 2) (3 x - 2)$ aus $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ heraus.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.14

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $- u + u^{2} - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.15.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.16.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.4

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Schritt 3