Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1 - x^{2}}{x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{1 - x^{2}}{x}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{x}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x}$

Schritt 5.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x}$

Schritt 5.2.5

Stelle $x$ und $1$ um.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x (- x)}{x}$

Schritt 5.2.6

Entferne die Klammern.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{x}$

Schritt 5.2.7

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{x}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $x$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

Schritt 5.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x}$

Schritt 5.2.12

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

Schritt 5.2.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

Schritt 5.2.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

Schritt 5.2.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x}$

Schritt 5.2.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - x + x - x^{2}}{x}$

Schritt 5.2.17

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{1 + 0 - x^{2}}{x}$

Schritt 5.2.18

Subtrahiere $x^{2}$ von $0$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x}$

Schritt 5.2.19

Stelle $1$ und $- x^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 1}{x}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 5.8

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- x + \frac{1}{x}$

Schritt 5.10

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - x$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - x$

Schritt 7