Elementarmathematik Beispiele

$y = - 5 \sin (4 x + \frac{π}{3})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 5 \sin (4 x + \frac{π}{3})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 \sin (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ um.

$- 5 \sin (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \sin (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \sin (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 \sin (4 x + \frac{π}{3})}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 \sin (4 x + \frac{π}{3})}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (4 x + \frac{π}{3})$ durch $1$ .

$\sin (4 x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{- 5}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 5$ .

$\sin (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x + \frac{π}{3} = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$4 x + \frac{π}{3} = 0$

Schritt 1.2.5

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - \frac{π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - \frac{π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{3}}{4}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{3}}{4}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{4}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.6.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 1.2.7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x + \frac{π}{3} = π - 0$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$4 x + \frac{π}{3} = π$

Schritt 1.2.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.2.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$4 x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.2.8.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{2 π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{2 π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Schritt 1.2.8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Schritt 1.2.8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Schritt 1.2.8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.8.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Schritt 1.2.8.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\sin (4 x + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 1.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.2.9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.2.10

Addiere $\frac{π}{2}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.10.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{12}$

Schritt 1.2.10.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.10.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{π}{12}$

Schritt 1.2.10.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{π \cdot 6}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 1.2.10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 6 - π}{12}$

Schritt 1.2.10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.5.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{12}$

Schritt 1.2.10.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{12}$

Schritt 1.2.10.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 1.2.11

Die Periode der Funktion $\sin (4 x + \frac{π}{3})$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{6} + \frac{π n}{4}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 5 \sin (4 (0) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 5 \sin (4 (0) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $- 5 \sin (4 (0) + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = - 5 \sin (0 + \frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{3}$ .

$y = - 5 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 5 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{5 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{6} + \frac{π n}{4}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{5 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4