Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 \leq 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ und deren Summe gleich $b = - 25$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 u$ heraus.

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 25$ um als $- 9$ plus $- 16$

$4 u^{2} + (- 9 - 16) u + 36 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 9 u - 16 u + 36 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 9 u) - 16 u + 36 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 9) - 4 (4 u - 9) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $4 u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $4 u - 9$ gleich $0$ .

$4 u - 9 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4 u - 9 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 9$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 9$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 9$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{9}{4}$

Schritt 5

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u - 9) (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{9}{4}, 4$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{9}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{9}{4}$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{4}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 9.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{3}{2}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 4$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 11.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 12

Die Lösung von $4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 = 0$ ist $x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$

Schritt 13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 14.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(- 4)}^{4} - 25 {(- 4)}^{2} + 36 \leq 0$

Schritt 14.1.3

Die linke Seite $660$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1.75$

Schritt 14.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1.75$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(- 1.75)}^{4} - 25 {(- 1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Schritt 14.2.3

Die linke Seite $- 3.046875$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 14.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(0)}^{4} - 25 {(0)}^{2} + 36 \leq 0$

Schritt 14.3.3

Die linke Seite $36$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3}{2} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3}{2} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.75$

Schritt 14.4.2

Ersetze $x$ durch $1.75$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(1.75)}^{4} - 25 {(1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Schritt 14.4.3

Die linke Seite $- 3.046875$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 14.5.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(4)}^{4} - 25 {(4)}^{2} + 36 \leq 0$

Schritt 14.5.3

Die linke Seite $660$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Falsch

$\frac{3}{2} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Falsch

$\frac{3}{2} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x \leq - \frac{3}{2}$ oder $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$

Schritt 16

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 2, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}, 2]$

Schritt 17