Elementarmathematik Beispiele

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \arctan (y + \frac{π}{2})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$ um.

$\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$

Schritt 2.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y + \frac{π}{2} = \tan (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = \tan (\arctan (x + \frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.5.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\tan (x) - \frac{π}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan ((\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- \frac{π}{2}$ und $\frac{π}{2}$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x) + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\tan (x)$ und $0$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$