Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$ nicht definiert ist.

$x = - 1, x = 3$

Schritt 2

Da $\frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von links und $\frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von rechts, dann ist $x = - 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 1$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 9 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 9)}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x (x^{2} - 3^{2})}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Schritt 6.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 6 x - 9$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2}) - 6 x - 9}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 9}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2} - 2 x - 3)}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 6.1.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 ((x - 3) (x + 1))}$

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x - 3) (x + 1)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x - 3) (x + 1)}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x + 3)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $x (x + 3)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.2

Stelle $x$ und $3$ um.

$\frac{x \cdot x + 3 x}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} + 3 x}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $3 (x + 1)$ aus.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x}{3 x + 3}$

Schritt 6.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

Schritt 6.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$

Schritt 6.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 6.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 6.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$

Schritt 6.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$

Schritt 6.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 2$

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$2$

Schritt 6.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$2$
							-	$2$

Schritt 6.14

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 6.15

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{- 2 x + 6}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Schritt 6.16

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 8