Elementarmathematik Beispiele

$p (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ um.

$- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ mit $2$ .

$- \frac{x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} + 3 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) + 3 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (- 3 x)$ heraus.

$- (x^{3} - 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 3 x) - 1 (2)$ heraus.

$- (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $x^{3} - 3 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.4.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2.4.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 1.2.4.2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 2$

Schritt 1.2.4.2.3.4

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 2$

Schritt 1.2.4.2.3.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 1.2.4.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Schritt 1.2.4.2.5

Dividiere $x^{3} - 3 x + 2$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 1.2.4.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 1.2.4.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 1.2.4.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.2.4.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Schritt 1.2.4.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.2.4.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.2.4.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.2.4.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.2.4.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 1.2.4.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x - 2$

Schritt 1.2.4.2.6

Schreibe $x^{3} - 3 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$- ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.4.3.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.4.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.2.4.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.4.4.1

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 1.2.4.4.1.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.4.4.1.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.4.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.4.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.6

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0), (- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2}$ mit $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0 - 1$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{2}) + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 1$

Schritt 2.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0), (- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 4