Elementarmathematik Beispiele

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{6}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.6.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

Schritt 1.6.2

Addiere $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ und $0$ .

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{5}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $24$ .

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{4}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 21 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 21$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120 x^{4}$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $120$ .

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x^{3}$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $60$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 42 x$ nach $x$ gleich $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 42$ mit $1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ und $0$ .

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$