Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt[3]{x - 7}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{y - 7}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{y - 7} = x$ um.

$\sqrt[3]{y - 7} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y - 7}}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y - 7}$ als ${(y - 7)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 7)}^{1} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$y - 7 = x^{3}$

Schritt 2.4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{3} + 7$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{x - 7}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = {(\sqrt[3]{x - 7})}^{3} + 7$

Schritt 4.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 7}}^{3}$ als $x - 7$ um.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 7}$ als ${(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = {({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 7$

Schritt 4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = {(x - 7)}^{\frac{3}{3}} + 7$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = {(x - 7)}^{\frac{3}{3}} + 7$

Schritt 4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = (x - 7) + 7$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = x - 7 + 7$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 7 + 7$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 7}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{3} + 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} + 7) = \sqrt[3]{(x^{3} + 7) - 7}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (x^{3} + 7) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 4.3.4

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f (x^{3} + 7) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 4.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x^{3} + 7) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$