Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 144 x \leq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 144 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 144 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 144 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 144 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 144 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 144$ heraus.

$x (x^{2} - 144) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x (x^{2} - 12^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 12$ .

$x ((x + 12) (x - 12)) = 0$

Schritt 2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 12) (x - 12) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 12 = 0$

$x - 12 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 6

Setze $x - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 12$ gleich $0$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 12) (x - 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 12, 12$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 12$

$- 12 < x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 14$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 14)}^{3} - 144 \cdot - 14 \leq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 728$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 12 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 12 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{3} - 144 \cdot - 2 \leq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $280$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{3} - 144 \cdot 2 \leq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 280$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(14)}^{3} - 144 \cdot 14 \leq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $728$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 12$ Wahr

$- 12 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

$x < - 12$ Wahr

$- 12 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 12$ oder $0 \leq x \leq 12$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 12] \cup [0, 12]$

Schritt 12