Elementarmathematik Beispiele

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \cot (θ))$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.3

Multipliziere $(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ .

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Schritt 2.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ und $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ neu an.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.4.2

Addiere $- \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ und $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 0 + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.4.3

Addiere $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (θ)}$ mit $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.5.1.3

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (θ)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.5.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ mit $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 2.5.3.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 2.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 2.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 2.5.3.6

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Schritt 2.5.3.7

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Schritt 2.5.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (θ)$ .

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Schritt 2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$ ist eine Identitätsgleichung