Elementarmathematik Beispiele

$\sin (\sec^{-1} (u))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{u^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\sec^{-1} (u)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{u^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\sec^{-1} (u))$ $\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$ .

$\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = u$ und $i = 1$ .

$\frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$