Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$

Schritt 1

Setze $x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{2} x^{3} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1 - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$x^{2} (x^{3} + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{2} (x^{3} + 1^{3}) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.6.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.6.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.1.6.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.6.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Schritt 2.1.6.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 1 \cdot 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Schritt 2.1.6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Schritt 2.1.6.3.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 5 \cdot - 1 + 8 \cdot - 1 + 4$

Schritt 2.1.6.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 1 + 5 + 8 \cdot - 1 + 4$

Schritt 2.1.6.3.6

Addiere $- 1$ und $5$ .

$4 + 8 \cdot - 1 + 4$

Schritt 2.1.6.3.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$4 - 8 + 4$

Schritt 2.1.6.3.8

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$- 4 + 4$

Schritt 2.1.6.3.9

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 2.1.6.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4}{x + 1}$

Schritt 2.1.6.5

Dividiere $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1.6.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

Schritt 2.1.6.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

Schritt 2.1.6.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.1.6.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.1.6.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Schritt 2.1.6.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.6.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.6.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.6.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} + 4 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.6.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.6.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Schritt 2.1.6.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Schritt 2.1.6.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Schritt 2.1.6.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 4$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Schritt 2.1.6.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Schritt 2.1.6.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 2.1.6.6

Schreibe $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1) - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.9

Vereinfache.

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Schritt 2.1.9.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.9.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) (x^{2 + 2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$(x + 1) (x^{4} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.1

Bewege $x$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) (x^{4} - x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.10.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.11

Subtrahiere $x^{3}$ von $- x^{3}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.1.12

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{3} x - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ heraus.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 (x) + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.3.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + (- 2 + 6) x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.2.1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (x - 2) + x (- 3 x - 2) - 2 (- 3 x - 2) = 0$

Schritt 2.4.2.1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x - 2$ .

$x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.4.2.1.4

Faktorisiere $x - 2$ aus $x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $x^{3} (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) x^{3} + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(- 3 x - 2) (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2) = 0$

Schritt 2.4.2.1.4.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2)$ heraus.

$(x - 2) (x^{3} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 2.4.2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.2.1.5.1

Schreibe $x^{3} - 3 x - 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.4.2.1.5.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 3 x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.4.2.1.5.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.4.2.1.5.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.3.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$2 - 2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.3.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 3 x - 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x - 2$

Schritt 2.4.2.1.5.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 3 x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} - x - 2)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.5.1.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.2.1.5.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.2.1.5.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.4.2.1.5.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

Schritt 2.4.2.1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) ((x + 1) (x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (x + 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1.6.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 2)}^{1 + 1} (x + 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 2)}^{2} (x + 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.5

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.6

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 1} = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.8

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.3

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.3.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2.3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.2.4

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.4.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.4.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.4.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 2$

Schritt 3