Elementarmathematik Beispiele

$r \sin (θ) = 4$

Schritt 1

Da $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ ist, ersetze $\sin (θ)$ durch $\frac{y}{r}$ .

$r \frac{y}{r} = 4$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

$r (r \frac{y}{r}) = r \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $r (r \frac{y}{r})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Bewege $r$ .

$r \cdot r \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2}$ heraus.

$r \cdot r \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r \cdot r \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r y = r \cdot 4$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $r$ .

$r y = 4 r$

Schritt 3

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} y = 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Löse nach $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ auf.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} y - 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ aus $\sqrt{x^{2} + y^{2}} y - 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ heraus.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ aus $- 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ heraus.

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot - 4 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ aus $\sqrt{x^{2} + y^{2}} y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot - 4$ heraus.

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4) = 0$

Schritt 4.1.3

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4) = 0$ durch $y - 4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4) = 0$ durch $y - 4$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4)}{y - 4} = \frac{0}{y - 4}$

Schritt 4.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 4$ .

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Schritt 4.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4)}{y - 4} = \frac{0}{y - 4}$

Schritt 4.1.3.2.1.2

Dividiere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{0}{y - 4}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.3.1

Dividiere $0$ durch $y - 4$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + y^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + y^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} + y^{2} = 0$

Schritt 4.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = - x^{2}$

Schritt 4.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- x^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- x^{2}}$ .

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Schritt 4.4.3.1

Stelle $- 1$ und $x^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 4.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm x \sqrt{- 1}$

Schritt 4.4.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm x i$

Schritt 4.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = x i$

Schritt 4.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - x i$

Schritt 4.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = x i$

$y = - x i$

$y = x i$

$y = - x i$

$y = x i$

$y = - x i$

$y = x i$

$y = - x i$

Schritt 5