Elementarmathematik Beispiele

$y = \tan (x - \frac{π}{6})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \tan (x - \frac{π}{6})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (x - \frac{π}{6}) = 0$ um.

$\tan (x - \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x - \frac{π}{6} = \arctan (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x - \frac{π}{6} = 0$

Schritt 1.2.4

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 1.2.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x - \frac{π}{6} = π + 0$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $π$ und $0$ .

$x - \frac{π}{6} = π$

Schritt 1.2.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 1.2.6.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 1.2.6.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 1.2.6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 1.2.6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.5.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 1.2.6.2.5.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (x - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x - \frac{π}{6})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{6} + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \tan ((0) - \frac{π}{6})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \tan (0 - \frac{π}{6})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \tan ((0) - \frac{π}{6})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\tan ((0) - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von $0$ .

$y = \tan (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.2.3.2

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$y = \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 2.2.3.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$y = - \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 2.2.3.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{6} + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 4