Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$

Schritt 1

Setze $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ gleich $0$ .

$2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 225, \pm 3, \pm 75, \pm 5, \pm 45, \pm 9, \pm 25, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 225, \pm 112.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 75, \pm 37.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 9, \pm 4.5, \pm 25, \pm 12.5, \pm 15, \pm 7.5$

Schritt 2.1.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 3^{5} - 13 \cdot 3^{4} + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$2 \cdot 243 - 13 \cdot 3^{4} + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$486 - 13 \cdot 3^{4} + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$486 - 13 \cdot 81 + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 13$ mit $81$ .

$486 - 1053 + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $1053$ von $486$ .

$- 567 + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 567 + 24 \cdot 27 - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.8

Mutltipliziere $24$ mit $27$ .

$- 567 + 648 - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 567$ und $648$ .

$81 - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 - 34 \cdot 9 + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.11

Mutltipliziere $- 34$ mit $9$ .

$81 - 306 + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.12

Subtrahiere $306$ von $81$ .

$- 225 + 150 \cdot 3 - 225$

Schritt 2.1.1.3.13

Mutltipliziere $150$ mit $3$ .

$- 225 + 450 - 225$

Schritt 2.1.1.3.14

Addiere $- 225$ und $450$ .

$225 - 225$

Schritt 2.1.1.3.15

Subtrahiere $225$ von $225$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225}{x - 3}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ durch $x - 3$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{4}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$24 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$150 x$	-	$225$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{5} - 6 x^{4}$

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{4} + 21 x^{3}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} - 9 x^{2}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

Schritt 2.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 25 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

Schritt 2.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

Schritt 2.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 25 x^{2} + 75 x$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

Schritt 2.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

Schritt 2.1.1.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

Schritt 2.1.1.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $75 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

Schritt 2.1.1.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

$75 x$

$225$

Schritt 2.1.1.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $75 x - 225$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

$75 x$

$225$

Schritt 2.1.1.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

$75 x$

$225$

$0$

Schritt 2.1.1.5.26

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} - 25 x + 75$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} - 25 x + 75) = 0$

Schritt 2.1.2

Gruppiere die Terme um.

$(x - 3) (- 25 x + 75 + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 x + 75$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 x$ heraus.

$(x - 3) (- 25 x + 75 + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $- 25$ aus $75$ heraus.

$(x - 3) (- 25 x - 25 \cdot - 3 + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 (x) - 25 (- 3)$ heraus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2}) - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 7 x) + 3 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 7 x) + x^{2} \cdot 3) = 0$

Schritt 2.1.4.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 7 x)$ heraus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 7 x) + x^{2} \cdot 3) = 0$

Schritt 2.1.4.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2} - 7 x) + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 7 x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.1.5.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 7 x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))) = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 3))) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x - 3$ aus $- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x - 1) (x - 3)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $- 25 (x - 3)$ heraus.

$(x - 3) ((x - 3) \cdot - 25 + x^{2} (2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $x^{2} (2 x - 1) (x - 3)$ heraus.

$(x - 3) ((x - 3) \cdot - 25 + (x - 3) (x^{2} (2 x - 1))) = 0$

Schritt 2.1.6.3

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) \cdot - 25 + (x - 3) (x^{2} (2 x - 1))$ heraus.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + x^{2} (2 x - 1))) = 0$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1)) = 0$

Schritt 2.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1)) = 0$

Schritt 2.1.9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{2} x - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{3} - 1 \cdot x^{2})) = 0$

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{3} - 1 x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{3} - x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.11

Stelle die Terme um.

$(x - 3) ((x - 3) (2 x^{3} - x^{2} - 25)) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.12.1.1

Faktorisiere $2 x^{3} - x^{2} - 25$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.12.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.12.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 25, \pm 12.5, \pm 5, \pm 2.5$

Schritt 2.1.12.1.1.3

Setze $2.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.12.1.1.3.1

Setze $2.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {2.5}^{3} - {2.5}^{2} - 25$

Schritt 2.1.12.1.1.3.2

Potenziere $2.5$ mit $3$ .

$2 \cdot 15.625 - {2.5}^{2} - 25$

Schritt 2.1.12.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $15.625$ .

$31.25 - {2.5}^{2} - 25$

Schritt 2.1.12.1.1.3.4

Potenziere $2.5$ mit $2$ .

$31.25 - 1 \cdot 6.25 - 25$

Schritt 2.1.12.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6.25$ .

$31.25 - 6.25 - 25$

Schritt 2.1.12.1.1.3.6

Subtrahiere $6.25$ von $31.25$ .

$25 - 25$

Schritt 2.1.12.1.1.3.7

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$0$

Schritt 2.1.12.1.1.4

Da $2.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 25}{2 x - 5}$

Schritt 2.1.12.1.1.5

Dividiere $2 x^{3} - x^{2} - 25$ durch $2 x - 5$ .

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Schritt 2.1.12.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$5$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

Schritt 2.1.12.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$

Schritt 2.1.12.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			+	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.12.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.12.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.12.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.12.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.12.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 2.1.12.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 10 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 2.1.12.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$

Schritt 2.1.12.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$

Schritt 2.1.12.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$

Schritt 2.1.12.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$
							+	$10 x$	-	$25$

Schritt 2.1.12.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x - 25$

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$
							-	$10 x$	+	$25$

Schritt 2.1.12.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$
							-	$10 x$	+	$25$
										$0$

Schritt 2.1.12.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x + 5$

Schritt 2.1.12.1.1.6

Schreibe $2 x^{3} - x^{2} - 25$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) ((x - 3) ((2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5))) = 0$

Schritt 2.1.12.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) ((x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5)) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.13

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.1.13.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.13.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 3)}^{1 + 1} (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 3)}^{2} (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 2 x + 5$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i$

Schritt 2.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 3)}^{2} (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, \frac{5}{2}, - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

Schritt 3