Elementarmathematik Beispiele

$\cos (2 θ - \frac{π}{2}) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 θ - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = 0$

Schritt 3

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 θ = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π - 0$

Schritt 6

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $θ$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 θ = \frac{4 π + π}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$2 θ = \frac{5 π}{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (2 θ - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (2 θ - \frac{π}{2})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$