Elementarmathematik Beispiele

$y = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ um.

$- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{1}{2} x + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.1

Subtrahiere $\frac{π}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.6.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.6.3

Um $- \frac{π}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.6.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.6.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.6.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Schritt 1.2.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Schritt 1.2.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.6.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 \cdot π - π \cdot 2}{10}$

Schritt 1.2.6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π - 2 π}{10}$

Schritt 1.2.6.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $5 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{10}$

Schritt 1.2.7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Schritt 1.2.8.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{3 π}{10}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = 2 \frac{3 π}{2 (5)}$

Schritt 1.2.8.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.8.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3 π}{5}$

Schritt 1.2.9

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.10.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.10.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.10.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.10.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.10.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.10.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.10.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.10.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.10.2.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.10.2.3

Um $- \frac{π}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.10.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.10.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.10.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.10.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Schritt 1.2.10.2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Schritt 1.2.10.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Schritt 1.2.10.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 2}{10}$

Schritt 1.2.10.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 2 π}{10}$

Schritt 1.2.10.2.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{10}$

Schritt 1.2.10.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Schritt 1.2.10.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.10.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.10.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.10.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Schritt 1.2.10.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{13 π}{10}$

Schritt 1.2.10.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.10.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = 2 \frac{13 π}{2 (5)}$

Schritt 1.2.10.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.10.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{13 π}{5}$

Schritt 1.2.11

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ .

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Schritt 1.2.11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.11.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.2.11.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.2.12

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{5} + 4 π n, \frac{13 π}{5} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{5} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$ .

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = - \cos (0 + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{5}$ .

$y = - \cos (\frac{π}{5})$

Schritt 2.2.3.3

Berechne $\cos (\frac{π}{5})$ .

$y = - 1 \cdot 0.80901699$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.80901699$ .

$y = - 0.80901699$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 0.80901699)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 0.80901699)$

Schritt 4