Elementarmathematik Beispiele

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ um.

$- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{1}{2} x + \frac{π}{5} = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 0$

Schritt 1.2.6

Subtrahiere $\frac{π}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{5})$

Schritt 1.2.8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{5})$

Schritt 1.2.8.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{π}{5})$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{π}{5})$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Multipliziere $2 (- \frac{π}{5})$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.8.2.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{5}$ .

$x = \frac{- 2 π}{5}$

Schritt 1.2.8.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 π}{5}$

Schritt 1.2.9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = π - 0$

Schritt 1.2.10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = π$

Schritt 1.2.10.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.10.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.10.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.10.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{5} - \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.10.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5 - π}{5}$

Schritt 1.2.10.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.2.5.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 \cdot π - π}{5}$

Schritt 1.2.10.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $5 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{5}$

Schritt 1.2.10.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{5}$

Schritt 1.2.10.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.10.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.10.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.10.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{5}$

Schritt 1.2.10.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{4 π}{5}$

Schritt 1.2.10.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.10.4.2.1

Multipliziere $2 \frac{4 π}{5}$ .

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Schritt 1.2.10.4.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4 π}{5}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{5}$

Schritt 1.2.10.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π}{5}$

Schritt 1.2.11

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ .

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Schritt 1.2.11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.11.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.2.11.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.2.12

Addiere $4 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.12.1

Addiere $4 π$ zu $- \frac{2 π}{5}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{2 π}{5} + 4 π$

Schritt 1.2.12.2

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$4 π \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 π}{5}$

Schritt 1.2.12.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.12.3.1

Kombiniere $4 π$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 π \cdot 5}{5} - \frac{2 π}{5}$

Schritt 1.2.12.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π \cdot 5 - 2 π}{5}$

Schritt 1.2.12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.12.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 π - 2 π}{5}$

Schritt 1.2.12.4.2

Subtrahiere $2 π$ von $20 π$ .

$\frac{18 π}{5}$

Schritt 1.2.12.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{18 π}{5}$

Schritt 1.2.13

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{8 π}{5} + 4 π n, \frac{18 π}{5} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{8 π}{5} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{8 π}{5} + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$ .

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = - 3 \sin (0 + \frac{π}{5})$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{5}$ .

$y = - 3 \sin (\frac{π}{5})$

Schritt 2.2.3.3

Berechne $\sin (\frac{π}{5})$ .

$y = - 3 \cdot 0.58778525$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.58778525$ .

$y = - 1.76335575$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1.76335575)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{8 π}{5} + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1.76335575)$

Schritt 4