Elementarmathematik Beispiele

$y = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ um.

$- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ durch $1$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$4 x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.5.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.5.3

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Schritt 1.2.5.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $3 π$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.6.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Schritt 1.2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8.2.3

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.8.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.8.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.8.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.8.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.8.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.8.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Schritt 1.2.8.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Schritt 1.2.8.2.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $9 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 1.2.8.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{7 π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{7 π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Schritt 1.2.8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Schritt 1.2.8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Schritt 1.2.8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.8.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.8.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

Schritt 1.2.8.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{7 π}{24}$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 1.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.2.9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $- 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = - 3 \cos (0 + \frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{3}$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = - 3 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.2.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{3}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{3}{2})$

Schritt 4