Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x^{2}$ und $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$x^{2} + 2 y x x' - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y) - (y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Schritt 2.6.3

Stelle die Terme um.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2} + 2 x y$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x'$ aus $2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $2 x y x'$ heraus.

$x' (2 x y) - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x'$ aus $- y^{2} x'$ heraus.

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x'$ aus $2 x x'$ heraus.

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (2 x y) + x' (- y^{2})$ heraus.

$x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x)$ heraus.

$x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ durch $2 x y - y^{2} + 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ durch $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{- (x^{2}) + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x y$ heraus.

$x' = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x y)$ heraus.

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)$ heraus.

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.2.8.1

Schreibe $- (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ als $- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ um.

$x' = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 5.3.3.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$