Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)}{\sin^{4} (θ) - \cos^{4} (θ)}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (θ)$ und $b = \sin (θ)$ .

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{\sin^{4} (θ) - \cos^{4} (θ)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $\sin^{4} (θ)$ als ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ um.

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{{(\sin^{2} (θ))}^{2} - \cos^{4} (θ)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cos^{4} (θ)$ als ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ um.

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{{(\sin^{2} (θ))}^{2} - {(\cos^{2} (θ))}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin^{2} (θ)$ und $b = \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ))}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{1 (\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ))}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)$ mit $1$ .

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Schritt 2.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (θ)$ und $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))}$