Elementarmathematik Beispiele

$(1 - \cos (θ)) (\csc (θ) + \cot (θ))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ))$

Schritt 1.2

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2

Multipliziere $(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (θ)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{\sin (θ)}$ und $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kombiniere $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ und $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ von $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + 0 - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.3

Addiere $\frac{1}{\sin (θ)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (θ)$ und $\sin (θ)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (θ)}{1}$

Schritt 6.2.4

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ)$