Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 3 x + 2$ und $g (y) = 4 x - 7$ .

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $3 x'$ und $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4 x - 7$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 7$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $- 7$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $4 x'$ und $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ .

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Schritt 3.11.5.2.1

Subtrahiere $12 x x'$ von $12 x x'$ .

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.2.2

Subtrahiere $21 x'$ von $0$ .

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.3

Subtrahiere $8 x'$ von $- 21 x'$ .

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 3.11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ um.

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit ${(4 x - 7)}^{2}$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 x - 7)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ durch $29$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ durch $29$ .

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $29$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$