Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + 9 x - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 6} x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 6$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 6$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 36 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$\frac{72 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 6$ .

$\frac{72 - 54 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{72 - 54 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $54$ von $72$ .

$\frac{18 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.2.7.3

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 6$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$\frac{0}{- 6 + 6}$

Schritt 1.1.3.3

Addiere $- 6$ und $6$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 9 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $4 x + 9$ und $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + \frac{d}{d x} [6]}$

Schritt 1.3.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $4 x + 9$ durch $1$ .

$lim_{x \to - 6} 4 x + 9$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 6$ annähert.

$lim_{x \to - 6} 4 x + lim_{x \to - 6} 9$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 9$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 6$ annähert.

$4 lim_{x \to - 6} x + 9$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 6$ für $x$ .

$4 \cdot - 6 + 9$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$- 24 + 9$

Schritt 4.2

Addiere $- 24$ und $9$ .

$- 15$