Elementarmathematik Beispiele

\log_{4} (x - 4) + 2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)

$\log_{4} (x - 4) + 2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

2 \log_{4} (x + 4) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})

$2 \log_{4} (x + 4) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache

2 \log_{4} (x + 4)

$2 \log_{4} (x + 4)$ , indem du

2

$2$ in den Logarithmus ziehst.

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})$

Schritt 2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

x + 2

$x + 2$ .

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})$

Schritt 2.2.3

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})$

Schritt 2.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 4

$b = 4$ .

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

x - 4

$x - 4$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an,

\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

\log_{4} ({(x + 4)}^{2} \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2} \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

x + 4

$x + 4$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere

x + 4

$x + 4$ aus

{(x + 4)}^{2}

${(x + 4)}^{2}$ heraus.

\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Schritt 4.2

Faktorisiere

x + 4

$x + 4$ aus

(x + 2) (x + 4)

$(x + 2) (x + 4)$ heraus.

\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Schritt 4.4

Forme den Ausdruck um.

\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})

$\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})$

\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})

$\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})$

Schritt 5

Mutltipliziere

x + 4

$x + 4$ mit

\frac{1}{x + 2}

$\frac{1}{x + 2}$ .

\log_{4} (\frac{x + 4}{x + 2})

$\log_{4} (\frac{x + 4}{x + 2})$