Elementarmathematik Beispiele

$24 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (24 x^{6}) - \log_{3} (24)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$24 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $24 \log_{3} (\sqrt[3]{x})$ , indem du $24$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} ({\sqrt[3]{x}}^{24}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{24}$ als $x^{8}$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{3} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{24}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (x^{\frac{1}{3} \cdot 24}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $24$ .

$\log_{3} (x^{\frac{24}{3}}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $3$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 8}{3}}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 8}{3 (1)}}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1}}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (x^{\frac{8}{1}}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\log_{3} (x^{8}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (x^{8}) + \log_{3} (\frac{24 x^{6}}{24})$

Schritt 2.3.2

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$\log_{3} (x^{8}) + \log_{3} (x^{6})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{8} x^{6})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (x^{8 + 6})$

Schritt 4.2

Addiere $8$ und $6$ .

$\log_{3} (x^{14})$