Elementarmathematik Beispiele

$2 \ln (3 x + 1) - \ln (3 x^{2} - 5 x - 2)$

Schritt 1

Vereinfache $2 \ln (3 x + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(3 x + 1)}^{2}) - \ln (3 x^{2} - 5 x - 2)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x^{2} - 5 x - 2})$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x^{2} - 5 (x) - 2})$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x^{2} + (1 - 6) x - 2})$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2})$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x^{2} + x - 6 x - 2})$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{(3 x^{2} + x) - 6 x - 2})$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)})$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$\ln (\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{(3 x + 1) (x - 2)})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3 x + 1)}^{2}$ und $3 x + 1$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus ${(3 x + 1)}^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{(3 x + 1) (3 x + 1)}{(3 x + 1) (x - 2)})$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{(3 x + 1) (3 x + 1)}{(3 x + 1) (x - 2)})$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{3 x + 1}{x - 2})$