Elementarmathematik Beispiele

$\frac{120 (\ln ({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}}))}{{(16 z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 1

Vereinfache $120 \ln ({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})$ , indem du $120$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{{(16 z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $16 z^{5}$ an.

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{16^{\frac{1}{4}} {(z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2.2

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{{(2^{4})}^{\frac{1}{4}} {(z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2^{4 (\frac{1}{4})} {(z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2^{4 (\frac{1}{4})} {(z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2^{1} {(z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2 {(z^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{5})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2 z^{5 (\frac{1}{4})}}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln ({({(x^{3})}^{\frac{1}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(x^{3 (\frac{1}{5})} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\ln ({(x^{\frac{3}{5}} {(y^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(x^{\frac{3}{5}} y^{2 (\frac{1}{3})})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln ({(x^{\frac{3}{5}} y^{\frac{2}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $x^{\frac{3}{5}} y^{\frac{2}{3}}$ an.

$\frac{\ln ({(x^{\frac{3}{5}})}^{120} {(y^{\frac{2}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{5}})}^{120}$ .

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Schritt 3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (x^{\frac{3}{5} \cdot 120} {(y^{\frac{2}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $120$ heraus.

$\frac{\ln (x^{\frac{3}{5} \cdot (5 (24))} {(y^{\frac{2}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x^{\frac{3}{5} \cdot (5 \cdot 24)} {(y^{\frac{2}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x^{3 \cdot 24} {(y^{\frac{2}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$\frac{\ln (x^{72} {(y^{\frac{2}{3}})}^{120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{2}{3}})}^{120}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (x^{72} y^{\frac{2}{3} \cdot 120})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $120$ heraus.

$\frac{\ln (x^{72} y^{\frac{2}{3} \cdot (3 (40))})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x^{72} y^{\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 40)})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x^{72} y^{2 \cdot 40})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $40$ .

$\frac{\ln (x^{72} y^{80})}{2 z^{\frac{5}{4}}}$