Elementarmathematik Beispiele

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

Schritt 3.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u + 100 u^{- 1} = 20$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $100$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{100}{u} = 20$

Schritt 3.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 3.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 3.4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{100}{u} = 20$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{100}{u} = 20$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 100 = 20 u$

Schritt 3.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere $20 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.3.2.1

Ordne Terme um.

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

Schritt 3.4.3.2.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

Schritt 3.4.3.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 10$ .

${(u - 10)}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.3

Setze $u - 10$ gleich $0$ .

$u - 10 = 0$

Schritt 3.4.3.4

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 10$

Schritt 3.5

Setze $10$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$10 = e^{x}$

Schritt 3.6

Löse $10 = e^{x}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 10$ um.

$e^{x} = 10$

Schritt 3.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

Schritt 3.6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (10)$

Schritt 3.6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (10)$

Schritt 3.6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (10)$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (10)$

Dezimalform:

$x = 2.30258509 \dots$