Elementarmathematik Beispiele

$(3 x + 2) (x - 4) > 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (x - 4) > 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 4$

$x > 4$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 (- 3) + 2) ((- 3) - 4) > 0$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $49$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{3} < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{3} < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 (0) + 2) ((0) - 4) > 0$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $- 8$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 (6) + 2) ((6) - 4) > 0$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $40$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{2}{3}$ Wahr

$- \frac{2}{3} < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - \frac{2}{3}$ Wahr

$- \frac{2}{3} < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{2}{3}$ oder $x > 4$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{2}{3} or x > 4$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (4, \infty)$

Schritt 9