Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) + \log (x^{2} - 1) - 2 \log (x) - \log (x + 1)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x^{2} - 1)) - 2 \log (x) - \log (x + 1)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x (x^{2} - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log (\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log (\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Schritt 3.2.2

Dividiere $x (x - 1)$ durch $1$ .

$\log (x (x - 1)) - 2 \log (x)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \log (x)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \log (x)$

Schritt 3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \log (x)$

Schritt 3.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\log (x^{2} - x) - 2 \log (x)$

Schritt 3.7

Vereinfache $- 2 \log (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2} - x) - \log (x^{2})$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - x}{x^{2}})$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log (\frac{x \cdot x - x}{x^{2}})$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\log (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x^{2}})$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$\log (\frac{x (x - 1)}{x^{2}})$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log (\frac{x (x - 1)}{x \cdot x})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x (x - 1)}{x \cdot x})$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x - 1}{x})$