Elementarmathematik Beispiele

$\log (x + 20) + 2 \log (x - 20) - \log (x^{2} - 400)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (x - 20) + \log (\frac{x + 20}{x^{2} - 400})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log (x - 20)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x - 20)}^{2}) + \log (\frac{x + 20}{x^{2} - 400})$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$\log ({(x - 20)}^{2}) + \log (\frac{x + 20}{x^{2} - 20^{2}})$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 20$ .

$\log ({(x - 20)}^{2}) + \log (\frac{x + 20}{(x + 20) (x - 20)})$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 20$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log ({(x - 20)}^{2}) + \log (\frac{x + 20}{(x + 20) (x - 20)})$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\log ({(x - 20)}^{2}) + \log (\frac{1}{x - 20})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x - 20)}^{2} \frac{1}{x - 20})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 20$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x - 20$ aus ${(x - 20)}^{2}$ heraus.

$\log ((x - 20) (x - 20) \frac{1}{x - 20})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log ((x - 20) (x - 20) \frac{1}{x - 20})$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (x - 20)$