Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x^{2} - 4 y^{2}) - 2 \ln (x - 2 y) - \ln (7)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} - 4 y^{2}}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$\ln (\frac{x^{2} - {(2 y)}^{2}}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2 y$ .

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - (2 y))}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Schritt 2.2

Vereinfache $- 2 \ln (x - 2 y)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}) - \ln ({(x - 2 y)}^{2})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}}{{(x - 2 y)}^{2}})$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7} \cdot \frac{1}{{(x - 2 y)}^{2}})$

Schritt 5

Kombinieren.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y) \cdot 1}{7 {(x - 2 y)}^{2}})$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2 y$ und ${(x - 2 y)}^{2}$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 2 y$ aus $(x + 2 y) (x - 2 y) \cdot 1$ heraus.

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{7 {(x - 2 y)}^{2}})$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x - 2 y$ aus $7 {(x - 2 y)}^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{(x - 2 y) (7 (x - 2 y))})$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{(x - 2 y) (7 (x - 2 y))})$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{(x + 2 y) \cdot 1}{7 (x - 2 y)})$

Schritt 7

Mutltipliziere $x + 2 y$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x + 2 y}{7 (x - 2 y)})$