Elementarmathematik Beispiele

$\log (x - 2) + \log (x + 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Multipliziere $(x - 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 2$ und $- 2 x$ neu an.

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\log (x^{2} - 4) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Schritt 2.4

Vereinfache $- 0.5 \log (x^{2} + 4)$ , indem du $0.5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2} - 4) - \log ({(x^{2} + 4)}^{0.5})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 4}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log (\frac{x^{2} - 2^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$